万有引力和宇宙航行的相关公式推导

变量说明

$M$ 指中心天体的质量,
$m$ 指卫星的质量,
$R$ 指天体自身的半径，
$r$ 指环绕的轨道半径。

黄金公式

ps:理想化模型，假设万有引力全部作为重力，也就是在地球的两极上时。

$$\frac{GMm}{R^2}=mg\Longrightarrow GM=gR^2$$

测中心天体的质量

$$
\begin{cases}
\dfrac{GMm}{r^2} = mw^2 r \ w = \dfrac{2\pi}{T}
\end{cases}
$$

$$\Longrightarrow M=\frac{4\pi^2r^3}{GT^2}$$

宇宙航行

ps:理想化，仅适用与圆形轨道

$$\frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}\Longrightarrow v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$$
$$w=\frac{v}{r}\Longrightarrow w=\sqrt{\frac{GM}{r^3}}$$
$$T=\frac{2\pi}{w}\Longrightarrow2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}$$
$$\frac{GMm}{r^2}=ma\Longrightarrow a=\frac{GM}{r^2}$$

额外的常识

$$V_{球}=\frac43\pi R^3$$